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po `1
;l a;g
`24-matj`1me1
baccalkrat gn
!v d'?sei"em2 d spcialit
se0 `2024
mathmatiqs
volume `1
sj
m(:edi `19 ju* `2024
dure d l'!v: `4 hrs
l'ug d ' calcula)ice ac mode exam? actif 5 ktoris.
l'ug d ' calcula)ice  mmre "ty coge" 5 ktoris.
. q c sj v 5 'mis, aurz-v q'i 5 -6.
l sj -pte `6 pag5 numrot5 d `1  `6 4 ' v(s0 ogle.
' v(s0 ? ;l a;g 5 -pose d dx volum5:
9o l sj -pt4 `19 pag5 numrot5 d `1  `19;
9o un ,nexe d `3 6,5 tactil5. l'?@ ds 6,5 tactil5 5 !pos h papi( th(mog2. un fie 6astiq vi(ge 5  .p ( c,didat ;/iste  l'x( `2.
l c,didat dt )/t( @ qa)e x(s !poss.
l c,didat 5 *vit  f figur( h ' copie tt )ace d '(e, 2 *-t 8 n 1uctuse, q'i kra dveloppe.
' qlt d ' rdact0, ' 3^t  ' !cis0 ds rms sert !is5 ? -pte 4 l'ap!ci1 d ' copie. @ )ac5 d '(e, 2 *-ts 8 *1uctus5, sert valoris5.
swr
x( `1 `4
x( `2 `6
x( `3 `12
x( `4 `15
po `2
x( `1 (`4 pts)
 n ds affirm1s s;v,t5, *diq( * z 5 vr/e 8 fke. q rpse dt 2) justifie. un rpse n justifie n rpe kc pt.
`1.  :sidre ' f `f dfinie h `r p: `'f(x)"5xe^-x;.
 note `c?f ' cbe '!s?tative d `f 4 u 'pre orthonm.
affirm1 `1:
l'axe ds absci5 5 un asymptote hzle  ' cbe `c?f.
affirm1 `2:
' f `f 5 solut0 h `r d l'q1 diffr?ti
`(e): `'y'!y"5e^-x;.
`2.  :sidre @ s;t5 `(u?n), `(v?n)  `(w?n), tlls q,  1 ?t ntl `n:
`u?n2v?n2w?n.
d 6, ' s;te `(u?n) :v(ge v(s `-1  ' s;te `(w?n) :v(ge v(s `1.
affirm1 `3:
' s;te `(v?n) :v(ge v(s u nb rl `l app^ten4  l'*t(vae `-1;1.
 suppose d 6 q ' s;te `(u?n) 5 :,te  q ' s;te `(w?n) 5 d:,te.
affirm1 `4:
 1 ?t ntl `n,  a al: `u?02v?n2w?0.
x( `2 (`5 pts)
un ag?ce d m^ket*g a tudi ' satisfact0 ds 3.ts :c(n4 l s(vice 3.tle  l'oc d l'aat d'u tlvis. cs aats t " raliss st h *t(net, st 4 un a3ne d magas*s d'lec)omnag(, st 4 un ?sei"e d 7ds surfac5.
@ aats h *t(net '!s?t2 `60 ds v?t5, @ aats ? magas* d'lec)omnag( `30 ds v?t5  cx ? 7ds surfac5 `10 ds v?t5.
un ?q m)e q ' !p ds 3.ts satisf3s ( s(vice 3.tle 5 d:
9o `75  @ 3.ts h *t(net;
9o `90  @ 3.ts ? magas* d'lec)omnag(;
9o `80  @ 3.ts ? 7d surface.
 sit k hd u 3.t ay aet l modle d tlvis :c(n.
 dfinit @ vs s;v4s:
9o `i: "l 3.t a effectu 9 aat h *t(net";
9o `m: "l 3.t a effectu 9 aat ? magas* d'lec)omnag(";
9o `g: "l 3.t a effectu 9 aat ? 7d surface";
9o `s: "l 3.t 5 satisf3 ( s(vice 3.tle".
po `3
* `a 5 u v qc,  notera `:a 9 v c)r  `p(a) sa !bt.
`1. '!d;re  -6t( l'^;e ci-c).
vr 6,e tactile no `1
`2. calcul( ' !bt q l 3.t /t ralis 9 aat h *t(net  st satisf3 ( s(vice 3.tle.
`3. dm)( q `p(s)"0,8.
`4. u 3.t 5 satisf3 ( s(vice 3.tle. qll 5 ' !bt q'i /t effectu 9 aat h *t(net?  dnera u rsultat ^rdi  `10^-3 !s.
`5.  ralis( l'tude, l'ag?ce dt :tact( q jr `30 3.ts pm @ aets ( tlvis.  suppose q l nb d 3.ts 5 suffisamm2 9pt4  aimil( l x ds `30 3.ts  u tirage ac 'mise.  note `x ' vari alatre g,  q ,ti d `30 3.ts, aocie l nb d 3.ts satisf3s ( s(vice 3.tle.
a. justifi( q `x s;t un l binomiale dt  !cisera @ param)5.
b. dt(min( ' !bt, ^rdie  `10^-3 !s, q'k m* `25 3.ts s2 satisf3s 4 u ,ti d `30 3.ts :tacts h un 2 jne.
`6. ? rsolv4 un *q1, dt(min( ' t/e minimale d l',ti d 3.ts  :tact(  q ' !bt q'k m* l'u d'?)e x n st ps satisf3 st spe  `0,99.
`7. 4 @ dx q0s a.  b. g s;v2,  n s'*tree q'kx sls aats h *t(net.
lq'un -m,de d tlvis 5 pae p u 3.t,  :sidre q l tp d livr/s ( tlvis 5 modlis p un vari alatre `t ge  ' sw d dx varis alatr5 `t?1  `t?2.
' vari alatre `t?1 modlise l nb ?t d jrs  l'aeminem2 ( tlvis dp u ?)ep4t d stockage v(s un 6atefme d .)ibut0.
' vari alatre `t?2 modlise l nb ?t d jrs  l'aeminem2 ( tlvis dp ct 6atefme jq'k domicile ( 3.t.
 admet q @ varis alatr5 `t?1  `t?2 9t *dpd5,   dne:
9o l'5rc `e(t?1)"4  ' vari,ce `v(t?1)"2;
9o l'5rc `e(t?2)"3  ' vari,ce `v(t?2)"1.
a. dt(min( l'5rc `e(t)  ' vari,ce `v(t) d ' vari alatre `t.
b. u 3.t pae un -m,de d tlvis h *t(net. justifi( q ' !bt q'i 've 9 tlvis ?)e `5  `9 jrs a! sa -m,de 5 spe 8 ge  `2/3.
po `4
x( `3 (`5 pts)
vr 6,e tactile no `2
l'5pace 5 muni d'u 'pre orthonm `(o;:i,:j,:k).
 :sidre @ pts `a(5;5;0), `b(0;5;0), `c(0;0;10)  `d(0;0;-5/2).
`1.
a. m)( q
`:n?1 (1 `@ -1 `@ 0)
5 u vect nmal k 6an `(cad).
b. ? dd;re q l 6an `(cad) a  q1 c^ts.ne: `x-y"0.
`2.  :sidre ' 4te `d d '!s?t1 param)iq
`'(x"5/2;t
y"5-5/2;t
z"0
o `t1r.
a.  admet q ' 4te `d  l 6an `(cad) 9t sc4s ? u pt `h. justifi( q @ codn5 d `h 9t `(5/2;5/2;0).
b. dm)( q l pt `h 5 l !jet orthogonal d `b h l 6an `(cad).
`3.
a. dm)( q l )i,@e `abh 5 'ct,@e ? `h.
b. ? dd;re q l'/re ( )i,@e `abh 5 ge  `25/4.
`4.
a. dm)( q `(co) 5 ' hkt ( t)a4e `abch iue d `c.
b. ? dd;re l volume ( t)a4e `abch.
 rapp q l volume d'u t)a4e 5 dn p: `'v"1/3;bh o `b 5 l'/re d'un base  `h ' hkt rtv  ct base.
`5.  admet q l )i,@e `abc 5 'ct,@e ? `b. dd;re ds q0s !cd?t5 ' .tc ( pt `h k 6an `(abc).
po `5
x( `4 (`6 pts)
p^tie a: tude d ' f `f.
' f `f 5 dfinie h l'*t(vae `0;!c p: `'f(x)"x-2!1/2;lnx;, o `ln dsi"e ' f logarithme npri?.  admet q ' f `f 5 dx fs driv h `0;!c,  note `f' sa drive  `f'' sa drive se:de.
`1.
a. dt(min(, ? justifi4, @ limit5 d `f ? `0  ? `!c.
b. m)( q  1 `x app^ten4  `0;!c,  a: `'f'(x)"2x!1;/2x.
c. tudier le sens de variation de `f sur `0;!c.
d. tudi( ' :vexit d `f h `0;!c.
`2.
a. m)( q l'q1 `f(x)"0 admet 4
`0;!c un solut0 uq q' notera `a  justifi( q `a app^t.t  l'*t(vae `1;2.
b. dt(min( l si"e d `f(x)  `x10;!c.
c. m)( q `ln(a)"2(2-a).
p^tie b: tude d ' f `g.
' f `g 5 dfinie h `0;1 p
`'g(x)"-7/8;x^2!x-1/4;x^2ln x;.
 admet q ' f `g 5 driv h `0;1   note `g' sa f drive.
`1. calcul( `g'(x)  `x10;1 ! vrifi( q `g'(x)"xf(1/x).
`2.
a. justifi( q  `x app^ten4  l'*t(vae `0;1/a,  a `f(1/x)@0.
b.  admet l taek d si"5 s;v4:
x '''''''''''''0 1/a 1
signe de f(1/x) ! 0 -
? dd;re l taek d vari1s d `g h l'*t(vae `0;1.
@ igs  @ limit5 n 9t ps dem,d5.
po `6
p^tie c: u calcul d'/re.
vr 6,e tactile no `3
 a '!s?t h l 7aphiq:
9o ' cbe `c?g d ' f `g;
9o ' parabole `p d'q1 `'y"-7/8;x^2!x h l'*t(vae 0;1.
 s8h/te calcul( l'/re `a ( dom/ne haur -!is ?)e @ cb5 `c?g  `p,  @ 4t5 d'q1s `x"1/a  `x"1.
 rapp q `ln(a)"2(2-a).
`1.
a. justifi( ' pos9 rtv ds cb5 `c?g  `p h l'*t(vae 0;1.
b. dm)( l'gt:
`'?1/a;^1x^2lnx;dx
"-a^3-6a!13;/9a^3;
`2. ? dd;re l'x! ? f d `a d l'/re `a.

